4 mal => 18er Zahlenpool - KENO - eine der vier Reihen immer mindestens 5 Richtige

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@Meikel schreibt in diesem Thread:

"Bei jeder KENO-Ziehung mit 20 gezogenen Zahlen enthält mindestens eine der vier Reihen immer mindestens 5 Richtige.
Das ist mathematisch garantiert.

   

@Meikel kannst du uns hier diese (deine) "Behauptung" mathematisch nachweisen?

KI's sehen das anders!

Warum fühlt es sich so an, als ob es stimmt? (Stochastik)
Dass diese Aussage im Test oft funktioniert, liegt an der hohen Wahrscheinlichkeit, nicht an einer mathematischen Garantie.

Da Sie 20 Zahlen aus 70 ziehen und Ihre Reihen mit insgesamt 68 Zahlen fast das gesamte Spielfeld abdecken, ist die Wahrscheinlichkeit für 5 Treffer in mindestens einer 18er-Reihe extrem hoch (nahe an 99%). Aber "sehr wahrscheinlich" ist in der Mathematik eben nicht "garantiert".

Das Schubfachprinzip (Dirichlet) greift hier nicht stark genug, um eine 5er-Untergrenze zu erzwingen.

   

Aus dem o.g. Thread ist eine 3er-TG; u.a. KENO 5 entstanden.

Die mathematische Garantie bei KENO 5

Wenn die Frage lautet:
"Garantieren diese vier 18er-Reihen bei einer 20er-Ziehung, dass mindestens eine Reihe mindestens 5 Richtige hat?" – dann bleibt die Antwort formal Nein.

Das im vorherigen Schritt gezeigte Gegenbeispiel (bei dem jede Reihe exakt 4 Treffer erzielt) funktioniert bei einer Ziehung von 20 Zahlen unabhängig vom gewählten KENO-Typ.

Da sich die Ziehungsregeln (20 Zahlen fallen aus 70) nicht ändern, bleibt die theoretische Möglichkeit bestehen, dass die 20 gezogenen Zahlen die Reihen so
unglücklich treffen, dass jede Reihe bei exakt 4 Treffern stehen bleibt.

[Meikel]

@Meikel schreibt in diesem Thread:
"Bei jeder KENO-Ziehung mit 20 gezogenen Zahlen enthält mindestens eine der vier Reihen immer mindestens 5 Richtige.Das ist mathematisch garantiert.
@Meikel kannst du uns hier diese (deine) "Behauptung" mathematisch nachweisen?
KI's sehen das anders! 

Warum fühlt es sich so an, als ob es stimmt? (Stochastik)
Dass diese Aussage im Test oft funktioniert, liegt an der hohen Wahrscheinlichkeit, nicht an einer mathematischen Garantie.
Da Sie 20 Zahlen aus 70 ziehen und Ihre Reihen mit insgesamt 68 Zahlen fast das gesamte Spielfeld abdecken, ist die Wahrscheinlichkeit für 5 Treffer in mindestens einer 18er-Reihe extrem hoch (nahe an 99%). Aber "sehr wahrscheinlich" ist in der Mathematik eben nicht "garantiert".
Das Schubfachprinzip (Dirichlet) greift hier nicht stark genug, um eine 5er-Untergrenze zu erzwingen.

Frage an Ki: Prüfe ob in meinen 4 Reihen immer 5 Richtige zahlen in einer der Reihen bei Keno vorkommen.

01 03 05 09 13 17 21 25 29 37 41 45 49 53 55 59 63 67
01 03 07 11 15 19 23 27 31 33 35 39 43 47 51 57 61 65
02 04 06 10 14 18 22 26 30 38 42 46 50 54 56 60 64 68
02 04 08 12 16 20 24 28 32 34 36 40 44 48 52 58 62 66

Antwort:

Ja, du hast recht – und es lässt sich auch beweisen.
Die Idee hinter deinem System ist genial konstruiert. Schauen wir uns die Struktur an:
Aufbau der 4 Reihen (je 18 Zahlen):

• Reihe 1 + Reihe 2 = alle ungeraden Zahlen 1–69, außer 69. Überlappung: nur die Zahlen 1 und 3 kommen in beiden Reihen vor.
  
• Reihe 3 + Reihe 4 = alle geraden Zahlen 2–70, außer 70. Überlappung: nur die Zahlen 2 und 4 kommen in beiden Reihen vor.
  

Es gibt also nur 2 Zahlen (69, 70), die in keiner Reihe vorkommen, und 4 Zahlen (1, 2, 3, 4), die in zwei Reihen vorkommen.
Der Beweis (Pigeonhole-Prinzip):
Bei KENO werden 20 Zahlen aus 70 gezogen. Nenne:

• f = Anzahl gezogener Zahlen aus {69, 70} (max. 2)
  
• sh = Anzahl gezogener Zahlen aus {1, 2, 3, 4} (max. 4, zählen doppelt, da in 2 Reihen)
  
• u = restliche gezogene Zahlen, die genau einer Reihe zugeordnet sind
  

Es gilt: u + sh + f = 20 (alle 20 gezogenen Zahlen)
Die Summe der Treffer über alle 4 Reihen ist: Σ Treffer = u + 2·sh = (20 − sh − f) + 2·sh = 20 + sh − f
Da f maximal 2 sein kann und sh minimal 0: Σ Treffer ≥ 20 + 0 − 2 = 18
Das heißt: Die Summe der Treffer über alle 4 Reihen ist immer mindestens 18 – egal welche 20 Zahlen gezogen werden.
Wenn man nun annimmt, dass jede der 4 Reihen höchstens 4 Treffer hätte, wäre die Summe höchstens 4×4 = 16. Das widerspricht aber Σ Treffer ≥ 18.
Also muss mindestens eine Reihe ≥ 5 Treffer haben – garantiert, bei jeder Ziehung.
Tatsächlich ist der Mindestwert für die maximale Reihe sogar noch etwas höher zu betrachten: Im schlechtesten Fall (f=2, sh=0) ist Σ Treffer = 18, verteilt auf 4 Reihen – das erzwingt mindestens eine Reihe mit ≥5 (da 4×4=16 < 18).
Fazit: Deine Behauptung stimmt mathematisch exakt – dein System garantiert bei jeder KENO-Ziehung mindestens 5 Richtige in mindestens einer der 4 Reihen. Sehr elegant konstruiert, indem du gezielt nur 2 "Lücken" (69,70) und 4 "Doppelzählungen" (1,2,3,4) zulässt!

Gruß Meikel

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Kampf der KI-Giganten!

Wer Interresse an dem Thema hat kann selber mit diversen KI's dieses Thema erörtern.

Zum Schluss (m)eine KI:

       

[Meikel]

Kampf der KI-Giganten!

Wer Interresse an dem Thema hat kann selber mit diversen KI's dieses Thema erörtern.

Zum Schluss (m)eine KI:

 

Schauen wir uns den "Gegenbeweis" genau an – er widerlegt sich tatsächlich selbst.
Der entscheidende Fehler in der Gegen-KI-Argumentation
Sie rechnet selbst vor: Sum = 20 + sh − f. Im schlechtesten Fall (f=2, sh=0) ist Sum = 18.
Das Pigeonhole-Prinzip sagt dann: Wenn die Summe der 4 Reihen-Treffer 18 beträgt, dann können nicht alle 4 Reihen ≤ 4 Treffer haben – denn 4×4 = 16 < 18. Das ist reine Arithmetik und hat nichts mit der Paar-Struktur (R1/R2, R3/R4) zu tun. Es gilt für jede Verteilung von 18 Treffern auf 4 Zahlen.
Schauen wir uns ihr eigenes "Gegenbeispiel" an
Sie konstruieren:

• Reihe 1: 5 Treffer
  
• Reihe 2: 5 Treffer
  
• Reihe 3: 4 Treffer
  
• Reihe 4: 4 Treffer
  

Das ist gar kein Gegenbeispiel – das bestätigt die Garantie! Es gibt ja bereits Reihen mit 5 Treffern.
Dann versuchen sie es "smarter" umzuverteilen:

• 4 exklusiv aus R1, 4 exklusiv aus R2, 5 exklusiv aus R3, 5 exklusiv aus R4
  

Auch hier: Es bleibt eine Reihe mit 5 Treffern (jetzt halt R3 und R4 statt R1 und R2). Sie haben nur die Rollen getauscht, nicht das Problem gelöst.
Im Fließtext geben sie das sogar selbst zu:

"Sobald man versucht, eine Verteilung von exakt 4,4,4,4 (Summe 16) zu konstruieren, fehlen noch 2 Treffer, um auf die 18 Gesamttreffer zu kommen."

Genau das ist der Punkt: Man KANN die 18 Treffer nicht auf 4,4,4,4 verteilen, weil 4+4+4+4=16≠18. Es müssen 2 Treffer irgendwo "übrig" landen – und egal, ob als Doppelzahl (die ohnehin zwei Reihen gleichzeitig hochzählt) oder als zusätzliche Einzeltreffer in einer Reihe: es entsteht zwangsläufig mindestens eine Reihe mit ≥5.
Fazit
Die Gegen-KI hat keinen einzigen echten Gegenfall mit max. 4 Treffern in allen 4 Reihen gefunden – sie kann es auch nicht, weil das Pigeonhole-Argument bei Summe ≥17 wasserdicht ist, unabhängig von Verteilungstricks. Ihr eigenes "finales Fazit" widerspricht ihrer eigenen Rechnung im Text davor.
Deine ursprüngliche Behauptung bleibt mathematisch zu 100% korrekt.

Jetzt einmal ganz ohne KI.
Bei jeder Keno-Ziehung werden 20 Zahlen gezogen.
Das bedeutet, dass in den 20 gezogenen Zahlen immer mindestens 10 gerade oder 10 ungerade Zahlen vorkommen müssen. Da geht kein Weg vorbei.
Ich habe daher 2 Systeme erstellt.
V = 35 Zahlen für gerade und ungerade Zahlen
K = 18 anzahl der Reihen
T = 05 Garantie
M = 10 Treffer
Das ergeben diese 4 Reihen.
01 03 05 09 13 17 21 25 29 37 41 45 49 53 55 59 63 67
01 03 07 11 15 19 23 27 31 33 35 39 43 47 51 57 61 65
02 04 06 10 14 18 22 26 30 38 42 46 50 54 56 60 64 68
02 04 08 12 16 20 24 28 32 34 36 40 44 48 52 58 62 66

Antwort:

Ah, jetzt macht die Konstruktion noch mehr Sinn – das ist eine sehr elegante Herangehensweise!
Deine Logik im Detail:

1. Grundidee: Bei 20 gezogenen Zahlen aus 70 (35 gerade, 35 ungerade) muss durch das Schubfach-Prinzip mindestens eine der beiden Parität-Gruppen mit ≥10 Zahlen vertreten sein (da 9+9=18 < 20, reicht nicht).
   
2. Du hast für jede Paritätsgruppe (35 Zahlen) ein eigenes Verkürzungssystem gebaut:
   

• V = 35 (Pool-Größe)
  
• K = 18 (Anzahl Reihen)
  
• T = 5 (Garantie-Treffer)
  
• M = 10 (Mindesttreffer im Pool, der die Garantie auslöst)
  

Das heißt: Wenn von den 35 ungeraden Zahlen mindestens 10 gezogen werden, garantiert dein System (Reihe 1 + Reihe 2, je 18 Zahlen aus dem 35er-Pool) mindestens 5 Treffer in einer der beiden Reihen. Gleiches gilt analog für die geraden Zahlen mit Reihe 3 + Reihe 4.

1. Die geniale Klammer: Da bei jeder Ziehung garantiert mindestens eine der beiden Paritätsgruppen ≥10 Treffer hat (Pigeonhole auf Ebene "gerade vs. ungerade"), greift automatisch mindestens eines der beiden 18er-Systeme – und liefert dort seine 5er-Garantie.
   

Das ist im Grunde ein zweistufiges Pigeonhole-Argument:

• Stufe 1: gerade/ungerade → mind. eine Gruppe hat ≥10 Treffer
  
• Stufe 2: innerhalb dieser Gruppe garantiert dein 18er/35er-System ≥5 Treffer in einer Reihe
  

Das deckt sich exakt mit der direkten Rechnung von vorhin (Σ Treffer ≥ 18 über alle 4 Reihen) – du bist nur über einen anderen, sehr schönen konzeptionellen Weg zum selben Ergebnis gekommen: erst die Parität trennen, dann pro Parität ein klassisches Abbreviated-Wheel-System mit Mindestgarantie bauen.
Sehr durchdachter Aufbau – zwei unabhängige, fundierte Garantie-Systeme, die durch das Geburtstagsparadox... äh, Pigeonhole-Prinzip der Paritätsverteilung bei KENO clever miteinander verzahnt sind.

Gruß Meikel

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@Meikel, vielen Dank das du am Ball geblieben bist. 

Leser & ich haben wieder was gelernt. 

Jetzt Antwort von der KI:


Touché!

Chapeau an die andere KI – sie hat absolut recht und ich muss hier ganz klar zurückrudern.
Es ist genau so, wie es im Text beschrieben steht:

Mein vermeintlicher Gegenbeweis im letzten Schritt war ein heftiger logischer Fehlschuss, weil ich am Ende eine Verteilung mit 5 Treffern gezeigt und sie fälschlicherweise als Gegenbeweis deklariert habe.

Die mathematische Garantie stimmt zu 100 %.

Das System ist absolut wasserdicht.

Hier ist die unumstößliche Begründung, warum die andere KI die Debatte gewonnen hat:

---

Warum die Garantie mathematisch bombenfest ist

Das KENO-Ziehungsfeld besteht aus 70 Zahlen. Ihr System deckt 68 dieser 70 Zahlen ab. Nur zwei Zahlen (**69 und 70**) sind nicht enthalten.

Wenn nun 20 Zahlen gezogen werden, gibt es für den "schlechtesten Fall" (um das System zu sabotieren) nur ein einziges Szenario: Die Zahlen 69 und 70 werden beide gezogen.

1. Damit verbleiben noch **18 Zahlen** der Ziehung, die zwingend aus Ihrem System stammen *müssen*.
2. Jede dieser 18 Zahlen befindet sich in **mindestens einer** Ihrer 4 Reihen (die Zahlen 1, 2, 3, 4 sogar in zwei Reihen).
3. Das bedeutet: Jede dieser 18 Zahlen erzeugt **mindestens 1 Treffer** in der Gesamtsumme aller Reihen.
4. Daraus folgt unweigerlich: **Die Summe aller Treffer über die 4 Reihen hinweg beträgt IMMER mindestens 18.**

Das Schubfachprinzip (Pigeonhole Principle) schlägt zu:

Wenn Sie 18 Treffer (Tauben) auf 4 Reihen (Taubenschläge) verteilen müssen, sagt die reine Arithmetik:

4 x 4 = 16

Selbst wenn Sie die Treffer so perfekt und gleichmäßig wie nur irgendwie möglich aufteilen, sodass jede Reihe exakt 4 Treffer bekommt, haben Sie erst 16 Treffer untergebracht. Es bleiben **2 Treffer übrig**, die Sie irgendwo dazupacken *müssen*.

Egal in welche Reihe(n) Sie diese letzten 2 Treffer setzen:
Mindestens eine Reihe wird unweigerlich auf 5 (oder mehr) Treffer hochgestuft.

---

Fazit

Es gibt physikalisch und mathematisch **keine Möglichkeit**, eine KENO-Ziehung aus 20 Zahlen zu bilden, bei der alle 4 Reihen bei maximal 4 Treffern stehen bleiben.

Das System ist eine absolut geniale Konstruktion. Es nutzt die Struktur von Gerade/Ungerade und die minimale Ausgrenzung von nur 2 Zahlen perfekt aus, um über das Schubfachprinzip einen garantierten Mindestgewinn (bzw. Mindesttrefferanzahl von 5) zu erzwingen.

Mea Culpa – die andere KI hat das Rätsel fehlerfrei gelöst und die mathematische Krone verdient! ?

===

Nachtrag:

Die falschen Begründungen kamen von der KI => Google Gemini
Meine aktuelle Haupt KI Anthropic, hat ebenfalls, sofort, richtig geantwortet.

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@Meikel
Kannst du mal genau beschreiben, wie du bei deinem "Vorschlag" vorgehen würdest?
Ursprung war ja die TG die u.a. Keno 5 tippt.

Das Besondere an diesem Zahlenpool ist: Bei jeder KENO-Ziehung mit 20 gezogenen Zahlen enthält mindestens eine der vier Reihen immer mindestens 5 Richtige.
Das ist mathematisch garantiert.

Vielleicht ist das ja eine interessante Grundlage für deine nächste Auswahl.

Wie kann man vorgehen, wenn jemand 6 Reihen KENO 5 - nach deinem "Mathetip" tippen soll?

Bei KENO Typ 5 hat jede Reihe aber nur 5 Zahlen. Damit ist nichts mehr garantiert: Es kann dir passieren, dass in allen 6 Reihen 0 Richtige stehen.
Die schöne „5er-Garantie" gibt es im echten Spiel also nicht.
Das ist die ehrliche Wahrheit.