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Systeme verbessern: Wann ist ein System eigentlich "besser" ? ?(
Beispielhaft nehme ich hier zur leichteren Übersicht ein kleines System: 330600001010
Allen vorgestellten Variationen dieses Systemes ist gemeinsam:
10 Zahlen in 10 6er-Reihen
100% Garantie 3 aus 3
Gleichverteilung der Zahlen
(Häufigkeit des Vorkommens der einzelnen Zahlen im System je 6 mal)
Zuerst ein mit einem einfachen Greedy-Algorithmus erstelltes System:
1 2 3 4 5 6
1 2 7 8 9 10
3 4 5 7 8 9
1 3 4 6 7 10
2 5 6 8 9 10
1 3 4 6 8 9
2 3 4 8 9 10
1 2 3 5 7 10
1 5 6 7 8 9
2 4 5 6 7 10
T if M Tested Covered % Not Covered %
----------------------------------------------------
2 If 2 : 45 45 100,00000 0 0,00000
2 If 3 : 120 120 100,00000 0 0,00000
2 If 4 : 210 210 100,00000 0 0,00000
2 If 5 : 252 252 100,00000 0 0,00000
2 If 6 : 210 210 100,00000 0 0,00000
2 If 7 : 120 120 100,00000 0 0,00000
3 If 3 : 120 120 100,00000 0 0,00000
3 If 4 : 210 210 100,00000 0 0,00000
3 If 5 : 252 252 100,00000 0 0,00000
3 If 6 : 210 210 100,00000 0 0,00000
3 If 7 : 120 120 100,00000 0 0,00000
4 If 4 : 210 133 63,33333 77 36,66667
4 If 5 : 252 248 98,41270 4 1,58730
4 If 6 : 210 210 100,00000 0 0,00000
4 If 7 : 120 120 100,00000 0 0,00000
5 If 5 : 252 60 23,80952 192 76,19048
5 If 6 : 210 170 80,95238 40 19,04762
5 If 7 : 120 120 100,00000 0 0,00000
6 If 6 : 210 10 4,76190 200 95,23810
6 If 7 : 120 40 33,33333 80 66,66667
Wie könnte dieses Sytem nun verbessert werden ?
Aus der Sicht des Mathematikers, indem die gewünschte Garantie 3 aus 3 im Sinne der Kombinatorik mit einer geringeren Anzahl von Kombinationen erreicht wird.
Theoretisch möglich aber praktisch schwierig ...
Nun gibt es in diesem Beispielfall aber nicht nur eine Kombination von 10 6er Reihen, die diese(!) Garantie(3 aus 3) erfüllt, sondern mehrere.
Falls jemand die Formel kennt, mit der sich errechnen lässt wie viele genau, bitte melden !!
Bitte nicht die Anzahl der möglichen 10 Reihen Kombinationen aus den 210 6er Reihen. Das ist einfach, obwohl sich hier eine zu grosse Zahl für viele Taschenrechner ergibt.
Es geht eben um die Anzahl der möglichen 10 6er Reihen, die zudem die gewünschte Garantie 3 aus 3 aus 10 erfüllen. 
Denn wie sieht es aus der Sicht eines Systemspielers aus, der dieses System z.B. im Lottospiel einsetzten möchte ?
Neben der "Grundgarantie" 3 aus 3 werden ja auch noch andere Kombinationen in der Form von prozentualen "Teilgarantien" abgedeckt.
Im ersten Beispiel schon jetzt zu 100% auch 4 aus 6 aber "nur" zu 98,41270% 4 aus 5.
Ein zweites Beispiel einer möglichen 10 6er Reihen Kombination (Greedy-Algorithmus, mit einer Zufallsauswahl modifiziert)
1 2 3 5 7 10
1 2 4 6 7 10
1 2 4 8 9 10
1 3 4 5 7 9
1 3 5 6 8 9
1 4 5 7 8 10
2 3 4 6 8 10
2 3 6 7 8 9
2 4 5 6 8 9
3 5 6 7 9 10
T if M Tested Covered % Not Covered %
----------------------------------------------------
2 If 2 : 45 45 100,00000 0 0,00000
2 If 3 : 120 120 100,00000 0 0,00000
2 If 4 : 210 210 100,00000 0 0,00000
2 If 5 : 252 252 100,00000 0 0,00000
2 If 6 : 210 210 100,00000 0 0,00000
2 If 7 : 120 120 100,00000 0 0,00000
3 If 3 : 120 120 100,00000 0 0,00000
3 If 4 : 210 210 100,00000 0 0,00000
3 If 5 : 252 252 100,00000 0 0,00000
3 If 6 : 210 210 100,00000 0 0,00000
3 If 7 : 120 120 100,00000 0 0,00000
4 If 4 : 210 130 61,90476 80 38,09524
4 If 5 : 252 252 100,00000 0 0,00000
4 If 6 : 210 210 100,00000 0 0,00000
4 If 7 : 120 120 100,00000 0 0,00000
5 If 5 : 252 60 23,80952 192 76,19048
5 If 6 : 210 180 85,71429 30 14,28571
5 If 7 : 120 120 100,00000 0 0,00000
6 If 6 : 210 10 4,76190 200 95,23810
6 If 7 : 120 40 33,33333 80 66,66667
Für den Kombinatoriker hat sich nichts verändert:
Die für ihn wichtige Garantie 3 aus 3 bleibt unverändert in 10 6er Reihen erfüllt.
Aber bei den anderen Kombinationen hat sich etwas getan:
Nun haben wir auch zu 100% die 4 aus 5 abgedeckt und die prozentuale Chance auf 5 aus 6 erhöht.
Dies haben wir aber mit einer Verschlechterung bei 4 aus 4 "erkauft".
Dem Versuch, mit einer eingeschränkten Reihenanzahl verschiedene Teilgarantien bestmöglich zu kombinieren, sind Grenzen gesetzt.
Oft ist es so, dass die Verbesserung der einen Kombinationsabdeckung eine Verschlechterung in einem anderen Teilbereich bedingt.
Leider muss ich auch hier aus Unwissenheit den mathematischen Beweis schuldig bleiben, warum dies so ist. 
Ein weiteres schönes Beispiel hierfür ist noch 430600000612 und 640600000612.
Für die Einzelgarantien werden jeweils 6 Reihen benötigt, aber beide Garantien zusammen sind nur in 8 Reihen möglich.
Also auch hier ein erneuter Aufruf an die "Wissenden" im Forum.
Wer in der Lage ist, diese Probleme mathematisch zu erklären, könnte dann auch berechnen, ob noch optimalere Kombinationen möglich wären.
Diese dann auch zu finden ist eine andere Sache.
Auf jeden Fall gibt es noch weitere, "bessere" Variationen von 10 6er Reihen mit der Garantie 3 aus 3.
drittes Beispiel mit der zusätzlich besten mir bekannten Abdeckung 4 aus 4:
1 3 5 6 7 10
2 3 4 5 7 9
1 4 5 6 7 8
1 3 4 7 8 10
1 2 5 8 9 10
1 2 4 7 8 9
2 3 5 6 8 10
3 4 5 6 9 10
1 2 3 6 8 9
2 4 6 7 9 10
T if M Tested Covered % Not Covered %
----------------------------------------------------
2 If 2 : 45 45 100,00000 0 0,00000
2 If 3 : 120 120 100,00000 0 0,00000
2 If 4 : 210 210 100,00000 0 0,00000
2 If 5 : 252 252 100,00000 0 0,00000
2 If 6 : 210 210 100,00000 0 0,00000
2 If 7 : 120 120 100,00000 0 0,00000
3 If 3 : 120 120 100,00000 0 0,00000
3 If 4 : 210 210 100,00000 0 0,00000
3 If 5 : 252 252 100,00000 0 0,00000
3 If 6 : 210 210 100,00000 0 0,00000
3 If 7 : 120 120 100,00000 0 0,00000
4 If 4 : 210 136 64,76190 74 35,23810
4 If 5 : 252 252 100,00000 0 0,00000
4 If 6 : 210 210 100,00000 0 0,00000
4 If 7 : 120 120 100,00000 0 0,00000
5 If 5 : 252 60 23,80952 192 76,19048
5 If 6 : 210 178 84,76190 32 15,23810
5 If 7 : 120 120 100,00000 0 0,00000
6 If 6 : 210 10 4,76190 200 95,23810
6 If 7 : 120 40 33,33333 80 66,66667
und viertes Beispiel mit der zusätzlich besten mir bekannten Abdeckung 5 aus 6:
1 2 4 6 7 10
1 3 5 6 8 10
3 4 5 7 9 10
1 2 5 7 8 9
2 4 5 6 8 10
1 2 3 4 5 9
2 3 7 8 9 10
1 3 4 6 7 8
2 3 5 6 7 9
1 4 6 8 9 10
T if M Tested Covered % Not Covered %
----------------------------------------------------
2 If 2 : 45 45 100,00000 0 0,00000
2 If 3 : 120 120 100,00000 0 0,00000
2 If 4 : 210 210 100,00000 0 0,00000
2 If 5 : 252 252 100,00000 0 0,00000
2 If 6 : 210 210 100,00000 0 0,00000
2 If 7 : 120 120 100,00000 0 0,00000
3 If 3 : 120 120 100,00000 0 0,00000
3 If 4 : 210 210 100,00000 0 0,00000
3 If 5 : 252 252 100,00000 0 0,00000
3 If 6 : 210 210 100,00000 0 0,00000
3 If 7 : 120 120 100,00000 0 0,00000
4 If 4 : 210 134 63,80952 76 36,19048
4 If 5 : 252 252 100,00000 0 0,00000
4 If 6 : 210 210 100,00000 0 0,00000
4 If 7 : 120 120 100,00000 0 0,00000
5 If 5 : 252 60 23,80952 192 76,19048
5 If 6 : 210 194 92,38095 16 7,61905
5 If 7 : 120 120 100,00000 0 0,00000
6 If 6 : 210 10 4,76190 200 95,23810
6 If 7 : 120 40 33,33333 80 66,66667
Auch hier haben wir leider das Phänomen, dass die Verbesserung der einen Teilgarantie die Andere verschlechtert. X(
Im Detail werden die Gewinntabellen übrigens noch komplexer in ihrer Wechselbeziehung.
Ich möchte mich daher hier erstmal nur auf die einfache Auflistung der abgedeckten Kombinationen beschränken.
Alle Systeme mit einem reduzierten Zahlenpool haben zudem bei ihrem Einsatz im Lotto das gleiche Manko:
Die angegebenen "Garantien" haben alle die weitere Bedingung, dass erstmal in der getroffenen Zahlenauswahl 3, 4, 5 oder eben alle 6 "gezogenen" Zahlen enthalten sein müssen.
Diese Wahrscheinlichkeit, mit einer Auswahl von 10 Zahlen aus 49 (in unserem Fall), von den 6 gezogenen Zahlen aus 49 auch tatsächlich 3, 4, 5 oder gar alle 6 Zahlen "einzufangen", lässt sich berechnen.
(Bitte keine Haarspalterei, dass Wahrscheinlichkeiten genaugenommen nur in Zahlen zwischen 0 und 1 ausgedrückt werden. Zur besseren Verständlichkeit habe ich mir die Freiheit genommen 1 = 100% zu setzen.) :]
Wahrscheinlichkeit für Treffer in einer beliebigen Auswahl von 10 Zahlen aus 49 für Lotto 6/49:
7,8424944951 % -------- 3
1,1127863811 % -------- 4
0,0702812451 % -------- 5
0,0015017360 % -------- 6
9,0270638573 % ------ 3 - 6
Diese Prozentzahlen (gerundet) beziehen sich auf ein Vollsystem mit 10 Zahlen (210 Reihen).
Mit diesen Zahlen kann man nun noch ein wenig jonglieren:
Wir wissen, dass die Wahrscheinlichkeit für 6 aus 6 bei 6 aus 49 bei
1\13.983.816 ca.= 0,000000071511 entspricht 0,0000071511 % liegt.
Bei 10 unterscheidbaren Kombinationen liegt sie dann bei (eigentlich addiert)
10*0,000000071511 = 0,00000071511 entspricht 0,000071511 %.
Die Wahrscheinlichkeit in unseren 10 reihigen VEW Systemen für 6 aus 6 ist 0,0476190.
Multipliziert (weil es sich jetzt um bedingte Wahrscheinlichkeiten handelt) mit der Wahrscheinlichkeit überhaupt 6 Zahlen in unserer 10er Auswahl zu treffen ergibt sich:
0,000015017360 * 0,0476190 ca.= 0,00000071511 (gerundet) entspricht 0,000071511 %.
Daran sieht man, dass jede Art von System schon mal überhaupt keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeit für einen Volltreffer hat.
Diese wird nur durch die Anzahl der unterscheidbaren 6er Reihen beeinflusst, bis hin zum 6 aus 49 Vollsystem, welches dann eine Gewinnwahrscheinlichkeit für den 6er von 1 bzw. 100% hat. :D
Ausgestattet mit diesem Wissen nun die Frage an die "Spieler":
Welches dieser(!) vorgestellten Systeme ist den eurer Meinung nach das "Bessere" und vor allem "Warum" ??
Aus dem Gefühl heraus oder eventuell sogar eine mathematische Begründung ?
In welche Richtung sollte bzw. könnte man Systeme für den Einsatz z.B. im Lotto auch ohne Reihenreduzierung verbessern ?
Gruß @all und ein schönes Neues Jahr wünscht euch
Jaera
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