Wahrscheinlichkeiten, Lotto, EuroMillions, & Co .

[EuMi130MiEu]

Hallöle, Grundlagen-Freaks, und die es werden wollen,

ein paar wesentliche Grundlagen sollen hier aufgelistet und zusammengetragen werden. Jeder kann beitragen, Beispiele, die er irgendwo gelesen oder gesehen hat, einfach locker hier rein.

"So, wollte eigentlich keine Mathe bringen, aber bei der Gelegenheit mach ichs mal." Grund, jetzt etwas mehr Mathe zu bringen, die Defizite sind doch ein wenig größer, als ich damals dachte.

Tipp: Problem reduzieren auf einfaches, überschaubares Beispiel hilft oft.

Und zwar im wahrsten Sinn des Wortes, Problem anschaubar, anschaulich, sichtbar machen.

Z.B.: Meist nehm ich Münzwurf (1 aus 2), oder Würfel (1 aus 6), oder 3-5 Kugeln (2 aus 3, 3 aus 5, ...), oder 2 aus 9, EuMi-Stars, ist dann überschaubar, anschaulich, anschaubar.


Die Materie ist nicht einfach, daher sind Fehler ganz normal. Schon jetzt sag ich Danke für jeden Hinweis, der Fehler korrigiert oder Missverständlichkeiten behebt.


Der Thread darf kontinuierlich wachsen und AUCH Neulinge inspirieren, hier mitzumachen.

"Aha, das wollte ich ja immer achon mal wissen" = Motivation.


In diesem Sinne, EuMi130MiEu.

[EuMi130MiEu]

Ich fang mal an mit:

NACHFOLGER, also Zahlen, die vorherigen Ziehungen (letzte, oder auch davor!) direkt folgen, gleicher Zahlenwert.

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A) 7 aus 49:

KEIN Nachfolger: 1,2,3,4,5,6,7 ist gefallen. Nächste Runde: NICHT 1,2,3,4,5,6,7 heißt 7 aus 8,...,49 dürfen fallen, also 7 aus 42 = 26978328 statt 7 aus 49 = 85900584, gibt 34.1% .

Im MITTEL kommt INSGESAMT genau eine Zahl als Nachfolger, mal 0, mal 1, mal 2, etc. und die 2er, 3er, etc. gleichen die 34.1% 0er genau aus.

Heißt: IM STATISTIK-DURCHSCHNITT sinds exakt 1.00 Zahlen, die bei 7 aus 49 folgen.

Nur als Mittelwert, über viele Ziehungen gemittelt. Mal kommt KEINE Zahl aus der Vorgänger-Runde (34.1%), mal kommt 1 Zahl, aber auch mal 2, 3, 4 Zahlen, was dann die 0-Runde ausgleicht, über viele Ziehungen.

Anzahl Nachfolger kann man aufsummieren und schauen, obs Nachholbedarf gibt.

Anders, Herleitung :

7 aus 49 = 7/49 = 1/7 Chance für jede Zahl in nächster Ziehung. 7 werden gezogen, 7mal Chance = 7*1/7 = 1.00

Letzte 10 Ziehungen, 5 Zahlen aus Vorgänger-7, => viel Nachholbedarf.

Letzte 100 Ziehungen, ca. 95 - 105 GEMEINSAME Zahlen treten auf.

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B) 6 aus 49:

1) Wir haben 6 Zahlen, beliebig, auch 1,2,3,4,5,6, oder 44,45,46,47,48,49, oder andere Zahlen, egal.

2) KEIN Nachfolger heißt jetzt ALLE Kombis 6 aus dem REST = 43 Zahlen.

3) 6 aus 43 = 6096454 Kombis STATT alle 14Mio = 43.6% aller Ziehungen haben 0 Nachfolger, wenn man nur die ersten 6 gezogenen Zahlen betrachtet.

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C) 2 aus 9, EuMi-Stars, und mal ein überschaubares Beispiel:

9 Kugeln auf dem Tisch.
2 Kugeln kommen 1 Reihe nach vorn, 3 und 6 (z.B.) = letzte Ziehung
Wir schauen hin. 7 Kugeln bleiben liegen, sind von 3 und 6 verschieden, wären KEINE Nachfolger für nächste Ziehung.
Also 2 aus diesen 7 sind dann KEINE Nachfolger. Mit WeEf's "munterer" und korrekter Kombi-Berechnung ergibt sich:
2 aus 7 = 7*6/1/2 = 21, OHNE Kombs-Nachfolger
2 aus 9 = 9*8/1/2 = 36, ALLE Kombs

=> 21/36 sind OHNE Nachfolger. = Wahrscheinlichkeit, wie oft Ziehungen OHNE Nachfolger.
=> 15/36 sind MINDESTENS 1 Nachfolger (36-21=15).

Wieviel insgesamt als Nachfolger im MITTEL pro eine ZIEHUNG?

Geht auch über Kombs, aber einfacher: 2 aus 9 = 2/9, dass eine beliebige Zahl kommt. 2 werden gezogen, 2*2/9 = 4/9 oder 16/36

Über Kombs: = (15+1)/36, +1, da eine Ziehung Doppel-Nachfolger, 3 und 6, also alles ok.

Jetzt schaun wir auf z.B. letzte 36 Ziehungen und checken GEMEINSAME Zahlen über den Vergleich zum jeweiligen Vorgänger. Wenns in der Summe 16 sind, dann isses exakt Statistik, wenns nur 10 sind, viel Nachholbedarf.

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Wahrscheinlichkeit P für beliebige Zahl bei 7 aus 49:

1. Ziehung: => 1 aus 49: P = 1/49

2. Ziehung: => 1 aus 48: P = 1/48

Aber: Diese 48 Zahlen haben ("Überlebens"-P zur 2. Runde) P2 = 48/49, dass sie NICHT in der 1. Runde gezogen werden, P2 = Q = 1-1/49, sogenannte Gegenwahrscheinlichkeit Q oder q.

Also: P = 1/48 * 48/49 = 1/49

usw.

Daher: Alle Zahlen von 1. bis 7. Ziehung haben P = 1/49.

[EuMi130MiEu]

Obiger Thread mit Wahrscheinlichkeit P für beliebige Zahl bei 7 aus 49 = 1/49 eignet sich ideal, um ein paar Tricks zu demonstrieren, wie auch ein Nicht-Mathematiker die Aufgabe lösen kann.
Kleine Gedankenexperimente, die mittels Reduktion auf KISS helfen, sich dem Problem zu nähern. Und die den Zufallsprozess X verständlicher machen.
Wahrscheinlichkeit = P .
1) - - - - -
3 Kugeln in Kiste oder Urne, Kennzeichnung Schwarz, Rot, Gold.
Wir holen 1 Kugel raus, dann eine zweite.
P3 für die letzte Kugel in Urne ist 1/3 für S/R/G.
P1 für die erste Kugel in Urne ist 1/3 für S/R/G.
P1+P2+P3 = 1 (Mathe), also für die 2. Kugel gilt P2=1/3 .
2) - - - - -
Lotto-Würfeln 3 aus 6:
1. Wurf: P = 1/6 .
2. Wurf: Wir müssen - wie immer das ausschaut - ein 5-Flach bauen für den Wurf 1 aus 5: Die 5 Flächen werden gekennzeichnet, und zwar nicht mit 1 - 5, sondern - als Folge vom 1. Wurf - mit den 5 Restzahlen. Wir sehen anschaulich (in Gedanken) die Abhängigkeit vom Resultat des 1. Wurfs, z.B. malen wir 1-2-4-5-6 drauf, mit P = 5/6 für jede dieser 5 Zahlen.
3. Wurf: Wir müssen ein 4-Flach = Tetraeder bauen für den Wurf 1 aus 4. Kennzeichnung z.B. 1-2-4-6 mit P = 4/6 für jede dieser 4 Zahlen in Abhängigkeit von 1. und 2. Wurf.
Wenn die 6 fällt, haben wir insgesamt 3-5-6 mit P = 1/6 für jede Zahl.
3) - - - - -
Wir komprimieren Lotto-Ziehung 7 aus 49 auf eine Ziehung. Unter der Trommel haben wir 7 Röhrchen, in die exakt eine einzige Kugel passt. Nach ein paar Drehungen der Trommel, wird die gemeinsame Abdeckung der Röhrchen entfernt. Die Kugeln fallen mehr oder weniger gleichzeitig. Und sie fallen mit P = 1/ 49 für jede Kugel. Und wenn wir das Experiment zeitlich etwas dehnen, dann haben wir den bekannten Zufallsprozess Lotto-Ziehung 7 aus 49.

PS: KISS "Keep It Short and Simple" oder auch "Keep It Simple, Stupid".

[EuMi130MiEu]

Mit 2 5 28 36 44 48 gabs im MI-Lotto nur Randzahlen.
Wird bekanntlich seltener getippt, also hohe Quoten möglich.
Aber auch hier könnten wieder viele Schlaumeier dies wissen und ähnlich wie die Schlaumeier bei den Datums-Zahlen durch viele Tipps die Quote runterziehen.

Hier hilft ein Vergleich der Wahrscheinlichkeiten für beide Fälle.

Nur Randzahlen : 6 aus 24 / 6 aus 49 = 1.6%

Nur Zahlen >= 32 : 6 aus 18 / 6 aus 49 = 0.13%

Bei den Tipps ohne Datums-Zahlen wirkt sich der Schlaumeier-Effekt erheblich stärker aus, daher auch stets die generelle Empfehlung, Randzahlen übergewichten. Zumal die Sache mit den Datums-Zahlen bekannter ist.